Day 3

• Unit vector intro
• Parametric representations of lines
• Linear combinations and span

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Unit vector intro

(2, 3)인 벡터 v가 있을 때 다음과 같이 표기한다.

또한 벡터 v는 unit vector로도 표기할 수 있다.

💡 Unit vector란?
길이가 1인 벡터이다. (열벡터와 행벡터가 존재)

또한 이러한 단위 벡터(Unit vector)를 이용해서 벡터의 덧셈을 할 수 있다.

단위 벡터를 활용한 덧셈은 다음과 같이 대응하는 성분끼리 더하면된다.

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Parametric representations of lines

다음과 같이 벡터 v(2, 3)이 주어 질 때 좌표평면에서는 위와 같이 주어진다.

또한 벡터 v에 실수 스칼라(c) 값을 곱한 집합 s는 벡터 v를 지나는 기울기가 1/2인 직선의 형태를 띈다.

• 이 때 벡터 v는 좌표편면안에서 어느 곳에서든 그릴 수있지만 집합 s와 같이 조건이 붙여졌을 때 기준이 되는 벡터를 Position vector라고 한다.
• 또한 집합 s는 벡터 v를 실수 스칼라값의 곱을 한 벡터들의 집합이기 때문에 Collinear vector라고 부른다.

벡터 x(2, 3)을 지나고 집합 s와 평행한 집합은 다음과 같다.

• 여기서 만들어진 집합 L은 집합 s에 어느 곳에서 벡터x를 더하면 집합 L에 포함된다.

여기서 집합 L을 표현한 방식은 우리가 예전에 배운 y=ax+b와 같은 직선의 방정식과 유사한 형태를 가지는데 굳이 위와 같은 표현을 사용한 이유는 general하기 때문이다.

• 위와같은 표현은 2차원을 넘어 3,4,5차원까지 쉽게 표기가 가능하다.

다음과 같은 예시를 살펴보자.

벡터 a와 b가 있을 때 두 개의 벡터를 지나는 벡터들의 집합은 집합 L과 같은 수식을 같는다.

• 집합 L에서 t(b-a)는 두 벡터를 지나는 모든 벡터들의 집합을 의미하고 b는 평행 이동을 의미한다.

그럼 3차원일 때도 살펴보자.

다음과 같이 3차원에 p1, p2벡터가 존재할 때 이 두 벡터를 지나는 벡터들의 집합을 나타내는 수식은 다음과 같다.

 

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Linear combinations and spans

Linear combinations

선형결합은 말 그대로 선형(직선)들끼리 결합(덧셈)하는 것이다. 

위에 예시는 벡터 a, b를 임의의 스칼라값 c(여기서는 3, -2)에 대하여 선형결합한 것이다. 위와 같이 선형결합은 특정 벡터들에 대하여 스칼라값을 곱한후 더한것이다.

이것을 일반화 하면 다음과 같다.

여기서 중요한 점은 벡터 a, b에 스칼라 값을 곱하면 그 값은 Linear하다는 것이다. 

Span

• span은 위와 같이 벡터들의 선형결합으로 만들 수 있는 모든 영역을 의미한다.
• 벡터 a, b와 같이 두 개의 벡터를 선형 결합하여 만들 수 있는 영역은 2차원 실수좌표계이다.
• 단, 두 벡터는 선형 독립적이어야 한다.
• 영벡터가 만들 수 있는 영역은 영백터 자신 뿐이다.
• 벡터 하나가 만들 수 있는 영역은 직선이다.

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자료: https://www.khanacademy.org/math/linear-algebra

Linear Algebra | Khan Academy