Day 5

• More on linear independence
• Span and linear independence

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More on linear independence

위에 집합 S는 선형 독립의 정의이다. 이 때 다음 항(오른쪽 항)과 필요충분조건을 성립한다.

 

예를 들어 

벡터 v1은 다른 벡터들의 선형결합으로 만들어 진다. 다시 말해 선형 종속을 이룬다.

이를 증명하기위해 다음 식에서 v1을 양변에 빼주면 아래와 같은 식을 얻을 수 있는데 이때 v1의 계수가 -1이므로 적어도 하나는 0이 아니라는 조건을 성립한다. 

 

반대의 경우도 마찬가지이다.

만약 c1이 0이 아니라면 양변을 c1으로 나누고 v1을 제외한 항들을 이동시켜주면 최종적으로 v1이 선형결합으로 이루어 졌다는것을 확인할 수 있다.

 

이러한 과정은 선형독립인지 선형종속인지를 쉬게 구별할 수 있게 한다.

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Span and linear independence example

위에처럼 3개의 벡터로 구성된 집합 S가 있을 때 Span(S)는 3차원 실좌표계일까?

확인하는 방법은 간단하다. 위와 같이 각각의 벡터에 임의의 스칼라 배를 곱한 값이 3차원 실좌표계위에 임의의 벡터를 만족하는지 확인하면 된다.

 

위에서 벡터 (a, b, c)는 임의의 실수임으로 Span(S)는 3차원 실좌표계이다.

 

그렇다면 집합 S는 선형 독립을 만족할까?

선형 독립인지 확인하기위해서는 선형종속인지 확인하는 방법을 역이용하면된다. 

• 선형 종속: 벡터들의 스칼라배를 더한 값이 0 (이 때 ci는 적어도 하나는 0)
• 선형 독립: 벡터들의 스칼라배를 더한 값이 0 (이 때 ci는 모두 0) 

따라서 위에 식 a,b,c에 0을 넣을 때 c1,c2,c3는 모두 0이므로 선형 독립을 만족한다.

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자료: https://www.khanacademy.org/math/linear-algebra

Linear Algebra | Khan Academy